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20070201

6-7 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Es gibt eine Vielzahl verschiedenartigster Wahrscheinlichkeitsverteilungen, unter denen die

wohl bekannteste die Normalverteilung ist, die für statistische und wahrscheinlichkeits-

theoretische Berechnungen verwendet wird. Die Normalverteilung ist eine stetige und symmetri-

sche Verteilung um den Mittelwertparameter

, d.h. bei einer statistischen Datenerhebung

in einer normalverteilten Grundgesamtheit werden Daten in unmittelbarer Umgebung von

häuﬁ ger und weiter links oder rechts von

liegende Zahlenwerte seltener in der Stichprobe

vorkommen. Dabei spielt als zweiter Parameter die Standardabweichung

eine wichtige Rolle.

Die Poission-Verteilung, die geometrische Verteilung und andere diskrete Wahrscheinlich-

keitsverteilungen ﬁ nden ebenfalls häuﬁ g Anwendung bei stochastischen Betrachtungen. Welche

Wahrscheinlichkeitsverteilung als wahrscheinlichkeitstheoretisches Datenmodell zur Anwendung

kommen wird, ist oftmals von der praktischen Fragestellung abhängig.

Ist das wahrscheinlichkeitstheoretische Datenmodell für

X (die Wahrscheinlichkeitsverteilung

der Grundgesamtheit X oder der Zufallsgröße X ) bekannt, können Sie z.B. Intervallwahr-

scheinlichkeiten P( X [a, b] ) = P(a ≤ X ≤ b), P( X (-∞, b] ) = P(X ≤ b) oder P( X [a,∞))

= P(X ≥ a) usw. berechnen.

So kann zum Beispiel die Verteilungsfunktion verwendet werden, um den Qualitätsanteil bei

der (Massen-)Produktion eines bestimmten Erzeugnisses zu berechnen, indem ein Qualitäts-

merkmal

X betrachtet wird. Sobald ein x-Intervall (Wertebereich für X) als Kriterium vorgegeben

ist, können Sie die Normalverteilungswahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass die

betrachtete Produktionskennziffer X genau in diesem x-Intervall liegen wird. D.h., Sie berechnen

den Prozentsatz dafür, dass ein vorgegebenes Kriterium erfüllt wird.

Andererseits kann z.B. eine unbekannte Ausschußrate

q als Null-Hypothese (zum Beispiel

q = qo =10%) in einer dichotomen Grundgesamtheit Y angesetzt und dann mithilfe einer

normalverteilten Testgröße Z untersucht werden, um zu entscheiden, ob (mit einer gewissen

Irrtumswahrscheinlichkeit α) die Null-Hypothese zugunsten einer Alternativhypothese a/jointfilesconvert/1013438/bgelehnt

werden muß.

Weiterhin spielt die Normalverteilung in Form ihrer Umkehrfunktion (Quantile der N(0,1)-

Verteilung) eine wichtige Rolle zur Berechnung der Intervallgrenzen von Vertrauensintervallen

z.B. für den Qualitätsanteil (Erfolgsquote p) innerhalb einer dichotomen Grundgesamtheit Y.

Mithilfe der Normalverteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen

x-Wert die

Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung an der Stelle x berechnet werden.

Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung können unkompliziert Intervallwahr-

scheinlichkeiten der Form

P( X [a, b] ) = P(a ≤ X ≤ b) für eine Normalverteilung berechnet

werden. Intervallwahrscheinlichkeiten können als schrafﬁ erte Fläche unter der (Gaußschen)

Glockenkurve graﬁ sch veranschaulicht werden.

Mithilfe der Umkehrfunktion der (Normal-)Verteilungsfunktion kann schließlich für eine

vorgegebene Intervallwahrscheinlichkeit

γ = P( X (-∞, x

] ) = P( X ≤ x

) die Intervallgrenze

(Quantil der Ordnung γ) berechnet werden.

Mithilfe der Studentschen

t -Verteilungsdichte(-funktion) kann für einen vorgegebenen x-Wert

die Wahrscheinlichkeitsdichte der

t -Verteilung an der Stelle x berechnet werden.

Mithilfe der Verteilungsfunktion einer Student-Verteilung (

t -Verteilung) können unkompliziert

Intervallwahrscheinlichkeiten der Form P( X [a, b] ) = P(a ≤ X ≤ b) für eine t -Verteilung

berechnet werden. Als Parameter der t -Verteilung sind deren Freiheitsgrade zu beachten.

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Wahrscheinlichkeitsverteilungen

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